《数学分析I-II-IⅢ》教学大纲(Mathematical Analysis)课程编号：4111511、4111512、4111513课程性质：学科必修课考核方式：考试学时/学分：240/15适用专业：金融数学等专业先修课程：初等数学版次：1执行时间：2024年09月大纲审核人：王小才批准人：范媛媛大纲执笔人：刘金桂蒋帅嵇绍春一、课程简介1.中文简介本课程是本科金融数学等专业一门重要的学科必修课程。主要介绍微分和积分两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数。通过本课程的学习，学生可以掌握数学分析课程的基本知识及基本运算技能，在此基础上，了解这门课程的基本理论和基本方法，达到培养学生熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。2.英文简介This course is an important compulsory course for undergraduate majors such asFinancial Mathematics etc. This course mainly introduces two special limit operationsdifferentiation and integration. From both micro and macro perspectives, using thesetwo operations to study functions. Based on these operations, some non elementaryfunctions are introduced and studied. Through the study of this course, students canmaster thebasic knowledge and operational skills of mathematical analysis.Onthisbasis, they can understand the basic theories and methods of this course, and cultivatetheir proficient computational ability and ability to comprehensively apply theknowledge they have learned to analyze and solve problems.二、课程目标课程目标1：掌握数学分析的基本理论与基本方法，培养抽象概括问题的能力和逻辑推理能力，培养熟练的分析和运算能力。课程目标2：培养学生发现实际问题中蕴含的数学问题的能力，能够用合乎数学通用规范的学术语言，准确、清晰、简洁地陈述有关数学内容，并且能够利用第21页共215页
第21页 共215页 《数学分析 I-II-III》教学大纲 （Mathematical Analysis） 课程编号：4111511、4111512、4111513 课程性质：学科必修课 学时/学分：240/15 考核方式：考试 适用专业：金融数学等专业 先修课程：初等数学 版次：1 执行时间：2024 年 09 月 大纲执笔人：刘金桂 蒋帅 嵇绍春 大纲审核人：王小才 批准人：范媛媛 一、课程简介 1. 中文简介 本课程是本科金融数学等专业一门重要的学科必修课程。主要介绍微分和积 分两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数，并依 据这些运算引进并研究一些非初等函数。通过本课程的学习，学生可以掌握数学 分析课程的基本知识及基本运算技能，在此基础上，了解这门课程的基本理论和 基本方法，达到培养学生熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问 题的能力。 2. 英文简介 This course is an important compulsory course for undergraduate majors such as Financial Mathematics etc. This course mainly introduces two special limit operations, differentiation and integration. From both micro and macro perspectives, using these two operations to study functions. Based on these operations, some non elementary functions are introduced and studied. Through the study of this course, students can master the basic knowledge and operational skills of mathematical analysis. On this basis, they can understand the basic theories and methods of this course, and cultivate their proficient computational ability and ability to comprehensively apply the knowledge they have learned to analyze and solve problems. 二、课程目标 课程目标 1：掌握数学分析的基本理论与基本方法，培养抽象概括问题的能力 和逻辑推理能力，培养熟练的分析和运算能力。 课程目标 2：培养学生发现实际问题中蕴含的数学问题的能力，能够用合乎数 学通用规范的学术语言，准确、清晰、简洁地陈述有关数学内容，并且能够利用
所学知识分析、解决实际问题。三、课程目标与毕业要求内涵观测点关联矩阵毕业要求内涵观测点课程目标内涵观测点2：具有扎实的数学、统计学和金融学的基本理毕业要求2：论、基本知识和基本技能，掌握金融数学专业基本的研究方课程目标1学科知识法，了解金融数学专业及相关领域最新动态和发展趋势。(H)内涵观测点4：具有解决复杂问题的能力。能够对金融数学毕业要求4：专业领域复杂问题进行综合分析和研究，并提出相应对策或课程目标2应用能力解决方案。(H)四、课程目标与教学内容、教学方式/方法对应关系课程目标教学内容教学方式/方法实数集与函数、确界原理、数列极限、函数极限、函数的连续性、极限四则运算法则、导数的定义、函数的四则运算求导法则、基本初等函数的导数公式、复合函数、初等函数的求导法则、高阶导数、不定积分的概念、不定积分的基本性课堂讲授、课堂质、换元积分法、分部积分法、有理函数、三角有理式、简讨论、自主学课程目标1单无理式的不定积分的计算、定积分的概念、牛顿一莱布尼习、案例分析兹公式、定积分的第一、二中值定理、函数可积的充要条件、等。级数敛散性的判别法、暴级数的收敛半径、收敛域、傅里叶级数、多元函数的微分学、多元函数的中值定理、泰勒公式、函数的极值、条件极值、曲线积分、格林公式、重积分、曲面积分、高斯公式课堂讲授、课堂利用微分、积分和级数等知识分析、解决数据计算和金融数讨论、自主学课程目标2学专业领域实际问题。习、案例分析等。五、教学内容第一章 实数集与函数 (10 学时)教学内容：实数；区间与邻域；函数；确界原理。教学重点：区间与邻域的概念；函数的概念及几类具有特定性质的函数。教学目标及要求：通过学习实数与函数的概念，掌握函数的相关性质，了解实数、区间与邻域的概念，了解确界原理。第22页共215页
第22页 共215页 所学知识分析、解决实际问题。 三、课程目标与毕业要求内涵观测点关联矩阵 毕业要求 内涵观测点 课程目标 毕业要求 2： 学科知识 内涵观测点 2：具有扎实的数学、统计学和金融学的基本理 论、基本知识和基本技能，掌握金融数学专业基本的研究方 法，了解金融数学专业及相关领域最新动态和发展趋势。（H） 课程目标 1 毕业要求 4： 应用能力 内涵观测点 4：具有解决复杂问题的能力。能够对金融数学 专业领域复杂问题进行综合分析和研究，并提出相应对策或 解决方案。（H） 课程目标 2 四、课程目标与教学内容、教学方式/方法对应关系 课程目标 教学内容 教学方式/方法 课程目标 1 实数集与函数、确界原理、数列极限、函数极限、函数的连 续性、极限四则运算法则、导数的定义、函数的四则运算求 导法则、基本初等函数的导数公式、复合函数、初等函数的 求导法则、高阶导数、不定积分的概念、不定积分的基本性 质、换元积分法、分部积分法、有理函数、三角有理式、简 单无理式的不定积分的计算、定积分的概念、牛顿—莱布尼 兹公式、定积分的第一、二中值定理、函数可积的充要条件、 级数敛散性的判别法、幂级数的收敛半径、收敛域、傅里叶 级数、多元函数的微分学、多元函数的中值定理、泰勒公式、 函数的极值、条件极值、曲线积分、格林公式、重积分、曲 面积分、高斯公式 课堂讲授、课堂 讨论、自主学 习、案例分析 等。 课程目标 2 利用微分、积分和级数等知识分析、解决数据计算和金融数 学专业领域实际问题。 课堂讲授、课堂 讨论、自主学 习、案例分析 等。 五、教学内容 第一章 实数集与函数（10 学时） 教学内容：实数；区间与邻域；函数；确界原理。 教学重点：区间与邻域的概念；函数的概念及几类具有特定性质的函数。 教学目标及要求：通过学习实数与函数的概念，掌握函数的相关性质，了解实数、 区间与邻域的概念，了解确界原理
课程思政：讲伯努利不等式时，通过介绍伯努利的生平事迹提高学生听课兴趣，鼓励学生具有勇于奋斗、乐观向上、自强不息的人生态度和孜孜不倦、不畏艰险的学习精神。第二章数列极限（10学时）教学内容：数列极限的概念；数列极限存在的条件。教学重点：数列极限的性质；数列极限存在的条件。教学目标及要求：通过学习数列的极限，了解数列极限的概念，掌握数列极限的性质及数列极限存在的条件，会计算数列的极限。课程思政：极限思想贯穿整个数学分析教程。数列极限的思想是数学分析课程中后继学习极限、微积分等的基础。我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献。他的“割圆术”求圆周率元的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。它包含了“用已知逼近未知，用近似逼近精确”的重要极限思想。刘徽用割圆术将圆周率精确到小数点后三位。用我国数学的辉煌成就来启发学生的爱国情怀，引导学生在时代和社会的发展中取养分，传承祖先文化，培养学生的责任意识。第三章函数极限（12学时）教学内容：函数极限的概念与性质；极限四则运算法则；两个极限存在准则；两个重要极限；无穷小量与无穷大量；无穷小阶；曲线渐近线。教学重点：两个极限存在准则；无穷小量的比较。教学目标及要求：通过学习函数的极限，了解函数极限的概念，掌握函数极限的性质及极限四则运算法则，掌握两个极限存在准则与两个重要极限，熟悉曲线渐近线；通过学习无穷小量和无穷大量的定义和性质，熟悉无穷小量与无穷大量的概念，熟悉无穷小阶的概念，掌握无穷小阶的比较，能利用等价无穷小计算函数的极限。课程思政：函数极限诠释的是永远跳动，无限接近目标的过程。就如同我们的理想，不忘初心，砥砺前行，无限接近，方得始终。通过两个极限：lim365×(1+0.01)*=o0和lim365×(1-0.01)*=0，说明积步以至千里，积懒情以致深渊。每天努力一点点，一年之后将收获巨大的成功；而每第23页共215页
第23页 共215页 课程思政：讲伯努利不等式时，通过介绍伯努利的生平事迹提高学生听课兴趣， 鼓励学生具有勇于奋斗、乐观向上、自强不息的人生态度和孜孜不倦、 不畏艰险的学习精神。 第二章 数列极限（10 学时） 教学内容：数列极限的概念；数列极限存在的条件。 教学重点：数列极限的性质；数列极限存在的条件。 教学目标及要求：通过学习数列的极限，了解数列极限的概念，掌握数列极限的 性质及数列极限存在的条件，会计算数列的极限。 课程思政：极限思想贯穿整个数学分析教程。数列极限的思想是数学分析课程中 后继学习极限、微积分等的基础。我国古代魏末晋初的杰出数学家刘 徽在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献。他的“割圆术”求圆周率 的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 合体而无所失矣”。它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要 极限思想。刘徽用割圆术将圆周率精确到小数点后三位。用我国数学 的辉煌成就来启发学生的爱国情怀，引导学生在时代和社会的发展中 汲取养分，传承祖先文化，培养学生的责任意识。 第三章 函数极限（12 学时） 教学内容：函数极限的概念与性质；极限四则运算法则；两个极限存在准则；两 个重要极限；无穷小量与无穷大量；无穷小阶；曲线渐近线。 教学重点：两个极限存在准则；无穷小量的比较。 教学目标及要求：通过学习函数的极限，了解函数极限的概念，掌握函数极限的 性质及极限四则运算法则，掌握两个极限存在准则与两个重要极限， 熟悉曲线渐近线；通过学习无穷小量和无穷大量的定义和性质，熟悉 无穷小量与无穷大量的概念，熟悉无穷小阶的概念，掌握无穷小阶的 比较，能利用等价无穷小计算函数的极限。 课程思政：函数极限诠释的是永远跳动，无限接近目标的过程。就如同我们的理 想，不忘初心，砥砺前行，无限接近，方得始终。通过两个极限： + lim 365 (1 0.01) =x x→ + 和 + lim 365 (1 0.01) =0 x x→ − ，说明积跬步以至千里， 积懒惰以致深渊。每天努力一点点，一年之后将收获巨大的成功;而每
天懒情一点点，将会被人远远地抛在后面。要时刻保持与时俱进，因为那些每天只比你努力一点点的人，最终会将你远远甩开。第四章函数的连续（8学时）教学内容：函数的连续性；间断点：连续函数的性质；函数的一致连续性。教学重点：连续性函数的性质；函数间断点类型的判别。教学目标及要求：通过学习函数的连续性和函数的间断点的类型，了解连续函数概念，函数间断点、函数一致连续性的概念，掌握函数连续性的运算与局部性质，能判别函数的间断点。课程思政：很多事物的变化都是连续的，像植物的生长、气温的变换、知识的积累等，不能急于求成，必须遵循它原本的规律。学习，知识的积累是需要时间和付出持久不懈的努力的，妄图寻求捷径的想法是不科学的，只能事与愿违。古人用拔苗助长的故事比喻违反事物发展的客观规律，急于求成，反而坏事。函数的连续性也是印证了这一道理。第五章导数与微分（14学时）教学内容：导数的概念；导数的几何意义；导数的四则运算；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与公式；参变量函数的导数；高阶导数；莱布尼茨公式：微分。教学重点：导数的定义与几何意义；导数求导法则；复合函数的导数；参数方程所确定的函数的一阶与二阶导数的计算：隐函数的导数：高阶导数的计算：微分。教学目标及要求：通过学习函数的导数，了解函数导数的概念，理解导数的几何意义，熟悉函数可导与连续之间的关系，会利用导数定义计算特殊函数在特定点的导数及分段函数的二阶导数，掌握函数和、差、积、商的求导法则及基本初等函数的导数公式，掌握反函数、复合函数、初等函数的求导法则；通过学习参数方程所确定的函数和隐函数的导数，会计算参数方程所确定的函数的一阶与二阶导数和隐函数的导数；通过学习函数的高阶导数，了解高阶导数的概念，掌握几种基本函数的高阶导数公式，熟悉莱布尼茨公式；通过学习函数的微分，了解函数微分的概念，掌握函数一阶微分的形式不变性，掌握初等函数一阶微第24页共215页
第24页 共215页 天懒惰一点点，将会被人远远地抛在后面。要时刻保持与时俱进，因 为那些每天只比你努力一点点的人，最终会将你远远甩开。 第四章 函数的连续（8 学时） 教学内容：函数的连续性；间断点；连续函数的性质；函数的一致连续性。 教学重点：连续性函数的性质；函数间断点类型的判别。 教学目标及要求：通过学习函数的连续性和函数的间断点的类型，了解连续函数 概念，函数间断点、函数一致连续性的概念，掌握函数连续性的运算 与局部性质，能判别函数的间断点。 课程思政：很多事物的变化都是连续的，像植物的生长、气温的变换、知识的积 累等，不能急于求成，必须遵循它原本的规律。学习，知识的积累是 需要时间和付出持久不懈的努力的，妄图寻求捷径的想法是不科学的， 只能事与愿违。古人用拔苗助长的故事比喻违反事物发展的客观规律， 急于求成，反而坏事。函数的连续性也是印证了这一道理。 第五章 导数与微分（14 学时） 教学内容：导数的概念；导数的几何意义；导数的四则运算；反函数的导数；复 合函数的导数；基本求导法则与公式；参变量函数的导数；高阶导数； 莱布尼茨公式；微分。 教学重点：导数的定义与几何意义；导数求导法则；复合函数的导数；参数方程 所确定的函数的一阶与二阶导数的计算；隐函数的导数；高阶导数的 计算；微分。 教学目标及要求：通过学习函数的导数，了解函数导数的概念，理解导数的几何 意义，熟悉函数可导与连续之间的关系，会利用导数定义计算特殊函 数在特定点的导数及分段函数的二阶导数，掌握函数和、差、积、商 的求导法则及基本初等函数的导数公式，掌握反函数、复合函数、初 等函数的求导法则；通过学习参数方程所确定的函数和隐函数的导数， 会计算参数方程所确定的函数的一阶与二阶导数和隐函数的导数；通 过学习函数的高阶导数，了解高阶导数的概念，掌握几种基本函数的 高阶导数公式，熟悉莱布尼茨公式；通过学习函数的微分，了解函数 微分的概念，掌握函数一阶微分的形式不变性，掌握初等函数一阶微
分与高阶微分的计算。课程思政：细节的疏忽有时会导致事业的失败。美国航天局由于一个细小零件的疏于检查，才导致哥伦比亚号航天飞机坠毁的惨剧。一个极小事件的发生，由于不断引发连锁反应，可能会导致严重的后果或者重大事件的发生。微分的精髓告诉我们，要想干成一件大事，必须从局部的小事做起。在学习和生活中，都应认真对待每一件事，认真对待自己的职责，培养学生的责任意识。第六章微分中值定理及其应用（14学时）教学内容：罗尔定理；拉格朗日定理；柯西定理；罗必塔法则：泰勒定理；函数的单调性：函数极值；闭区间上连续函数最大（小）值；曲线的凹凸性；曲线的拐点；简单函数的作图。教学重点：拉格朗日定理；函数的单调性；函数极值。教学目标及要求：通过学习微分中值定理，了解罗尔定理、拉格朗日定理，柯西定理，掌握函数单调性的判别，罗必塔法则；通过学习闭区间上连续函数最值的求法，会计算函数的最大（小）值；通过学习曲线的凹凸性，掌握曲线凹凸性的判断方法，掌握曲线拐点的求法，掌握简单函数的作图方法；通过学习泰勒定理，了解泰勒定理，熟悉函数带有Peano型余项、Lagrange型余项的Taylor公式，掌握几个常用的函数的泰勒公式。课程思政：从罗尔定理到拉格朗日定理再到柯西定理，这三大微分中值定理的条件不断放宽，结果越来越具有普遍性，这说明当看待问题的视角更宽泛时，会获得更多、更进步，只静止在特殊一点的结论或比较是局限的，要打破局限，从更高的视野看待问题，要培养自己的大局观。第八章不定积分（12 学时)教学内容：不定积分的概念；不定积分的基本性质及基本公式；不定积分的第一换元法、第二换元法；分部积分法；有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分。教学重点：不定积分的基本性质及基本公式；不定积分的第一换元法、第二换元法；分部积分法。第25页共215页
第25页 共215页 分与高阶微分的计算。 课程思政：细节的疏忽有时会导致事业的失败。美国航天局由于一个细小零件的 疏于检查，才导致哥伦比亚号航天飞机坠毁的惨剧。一个极小事件的 发生，由于不断引发连锁反应，可能会导致严重的后果或者重大事件 的发生。微分的精髓告诉我们，要想干成一件大事，必须从局部的小 事做起。在学习和生活中，都应认真对待每一件事，认真对待自己的 职责，培养学生的责任意识。 第六章 微分中值定理及其应用（14 学时） 教学内容：罗尔定理；拉格朗日定理；柯西定理；罗必塔法则；泰勒定理；函数 的单调性；函数极值；闭区间上连续函数最大（小）值；曲线的凹凸 性；曲线的拐点；简单函数的作图。 教学重点：拉格朗日定理；函数的单调性；函数极值。 教学目标及要求：通过学习微分中值定理，了解罗尔定理、拉格朗日定理，柯西 定理，掌握函数单调性的判别，罗必塔法则；通过学习闭区间上连续 函数最值的求法，会计算函数的最大（小）值；通过学习曲线的凹凸 性，掌握曲线凹凸性的判断方法，掌握曲线拐点的求法，掌握简单函 数的作图方法；通过学习泰勒定理，了解泰勒定理，熟悉函数带有 Peano 型余项、Lagrange 型余项的 Taylor 公式，掌握几个常用的函数的泰勒 公式。 课程思政：从罗尔定理到拉格朗日定理再到柯西定理，这三大微分中值定理的条 件不断放宽，结果越来越具有普遍性，这说明当看待问题的视角更宽 泛时，会获得更多、更进步，只静止在特殊一点的结论或比较是局限 的，要打破局限，从更高的视野看待问题，要培养自己的大局观。 第八章 不定积分（12 学时） 教学内容：不定积分的概念；不定积分的基本性质及基本公式；不定积分的第一 换元法、第二换元法；分部积分法；有理函数、三角有理式、简单无 理式的不定积分。 教学重点：不定积分的基本性质及基本公式；不定积分的第一换元法、第二换元 法；分部积分法