向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x, y]?≤ [x, x] [y, y][x, y]≤1当x±0且y±0时xl.lly定义：当x≠0且y≠0时，把[x, y]0= arccosxll.y称为n维向量x和y的夹角当[x,=0，称向量x和正交V0结论：若x=0，则x与任何向量都正交5x
向量的正交性 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y] 2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y || 当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时， 定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． [ , ] arccos || || || || x y x y [ , ] 1 || || || || x y x y x y
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定理：若n维向量aj2，…，a,是一组两两正交的非零向量，则ai,az,…a,线性无关.证明：设kia,+k2az+..+k,a,=0（零向量），那么O =[ar, O] = [a, kjai+ kzaz + ... + k,a,]= k, [a, a] + k, [ai, a] + ... +k,[ar,a,]= ki [ar, ail + 0 + ... + 0= k; IlailI2从而ki=0.同理可证，kz=k=..=k,=0.综上所述，a,az，…,a,线性无关
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组． 定理：若 n 维向量a1 , a2 , ., ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1 , a2 , ., ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + . + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1 , 0] = [a1 , k1a1 + k2a2 + . + kr ar ] = k1 [a1 , a1 ] + k2 [a1 , a2 ] + . + kr [a1 , ar ] = k1 [a1 , a1 ] + 0 + . + 0 = k1 ||a1 ||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = . = kr =0． 综上所述， a1 , a2 , ., ar 线性无关．
(1)1例：已知3维向量空间R3中两个向量-2a,=1, a,=1正交，试求一个非零向量as，使a,a2,两两正交。分析：显然ai上az：解：设a=(xi,2,)，若aa，aa，则[a, as] = aiT as=Xi + x2 + X = 0[a2, as] = a,T as= Xi - 2 x2 + xg = 0Y01Ax:X2-20
例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1 , a2 , a3 两两正交． 分析：显然a1⊥a2 ． 解：设a3 = (x1 , x2 , x3 ) T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则 [a1 , a3 ] = a1 T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 [a2 , a3 ] = a2 T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0 1 2 1 1 1 , 2 1 1 a a 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x Ax x x
01Ax-20101 EX, =-X3得[X=00l，令a0从而有基础解系S=
1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x Ax x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ~ ~ ~ 1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0 r r r 得 从而有基础解系 ，令 ． 1 3 2 0 x x x 1 0 1 3 1 0 1 a
定义：n维向量ei,e2，…，e,是向量空间VR"中的向量，满足ei,e2，…e,是向量空间V中的一个基（最大无关组）；e1,e2,.……,e,两两正交;e1,e2,.…,e,都是单位向量，则称ej,e2,…，e,是V的一个规范正交基(1)(0)0)(0)0001例: e, e.0000007是R4的一个规范正交基
定义： n 维向量e1 , e2 , ., er 是向量空间 中的向量， 满足 e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1 , e2 , ., er 两两正交； e1 , e2 , ., er 都是单位向量， 则称 e1 , e2 , ., er 是V 的一个规范正交基． 例： 是 R4 的一个规范正交基． n V R 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 e e e e