重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第五章 相似矩阵及二次型

01/ ~201/ ~2)001/ ~2-1/ ~2e2=,e, =,e4 =ei:1/ ~21/ ~200(-1/ ~2)(1/ /2)也是R4的一个规范正交基·(1)(1)(1011-e.e,e3:0011(0)(0)(0)1是R4的一个基，但不是规范正交基

也是 R4 的一个规范正交基． 1 2 3 4 1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , , , 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 e e e e                                                       1 2 3 4 1 1 1 1 0 1 1 1 , 0 0 1 1 0 0 0 1 e e e e                                                     是 R4 的一个基，但不是规范正交基．

设ej,e2，……,e,是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=aei+e2+...+e,[x,e,] _[x,e;]于是i=1,2,...,r[e,e, Ile, II2特别地，若er,e2，.……，e,是V的一个规范正交基，则2, =[x,e,l, i=1,2,...,r问题：向量空间V中的一个基ai,a2，…,a向量空间V中的一个规范正交基ei,e2,……，e

设 e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1 e1 + l2 e2 + .+ lr er 于是 特别地，若 e1 , e2 , ., er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1 , a2 , ., ar 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1 , e2 , ., er 2 [ , ] [ , ], 1,2, , [ , ] || || i i i i i i x e x e i r e e e l    [ , ], 1,2, , i i l   x e i r

求规范正交基的方法基正交基规范正交基第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设ai,2，……，a,是向量空间V中的一个基，那么令b, = a,2[b,,a,5b, =a, -c, =az[b,,b,]b, =a, -C36C32C31anbia

求规范正交基的方法 第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1 , a2 , ., ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 1 1 b a  a1 b1 a2 a3 c2 b2 c3 c31 c32 b3 1 2 2 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a c a b b b     3 3 3 3 31 32 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] b a c a c c b a b a a b b b b b b         基 正交基 规范正交基

第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设ai,2，……，a,是向量空间V中的一个基，那么令b, =ar[b,,a,b, =az -C,=a21[b,,b,]bb,=a, -h于是b,b2,……,b,两两正交，并且与a1,z,……,a,等价，即b1,b2，……,b,是向量空间V中的一个正交基特别地，b，.……,bk与aj，.……,a等价（1≤k≤r）

第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1 , a2 , ., ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 于是 b1 , b2 , ., br 两两正交，并且与a1 , a2 , ., ar 等价，即 b1 , b2 , ., br 是向量空间 V 中的一个正交基． 特别地，b1 , ., bk 与a1 , ., ak 等价（1 ≤ k ≤ r）． 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r b a b a b a b b b b b a b b b b b          1 1 b a  1 2 2 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a c a b b b    

第二步：单位化设bi,b2，……，b,是向量空间V中的一个正交基，那么令I/ b, II/b,Il因为I b, I2[]bI1 b, I12Ile, II= /[e,e,] = 1从而ei,e2,…,e,是向量空间V中的一个规范正交基

第二步：单位化 设 b1 , b2 , ., br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1 , e2 , ., er 是向量空间 V 中的一个规范正交基． 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , || || || || || || r r r e b e b e b b b b    2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 || || [ , ] , , 1 || || || || || || || || b e e b b b b b b b b               1 1 1 || || [ , ] 1 e e e  