广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

§5.3 常系数线性微分方程组 教学目的 讨论常系数方程组基本解矩阵的求法 教学要求 掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是 expA 的定义、性质和计算方法， 教学重点 矩阵指数 expA 的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。 教学难点 根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 所谓常系数线性微分方程组,指的是线性微分方程组 ( ) ' X = AX + f t 其中导数矩阵 A 为 n×n 常数矩阵.f(t)在 a≤t≤b 上连续的向量函数.从上节知,求解以上线性微分方程组的关键是求 相应的齐次线性微分方程组 X = AX ' (5.33)的一个基解矩阵.本节主要研究常系数线性微分 方程组(5.33)的基解矩阵求法. 当 n=1 时,矩阵 A 为常数,这时(5.33)为 x = ax ' 它的通解为 at x = ce 是以上方程的一个基解 矩阵.由此引伸出一个设想. (5.33)有一个基解矩阵 At e ,这里首先应弄清一个矩阵放在指数位 置 e 是什么意思. 一. 矩阵指数 expAt 的定义和性质. 1.定义. 设 A 是一个 n×n 常数矩阵,则定义矩阵指数 expA 为下面矩阵级数的和: =  = + + ++ +  = ! 2! ! exp 2 0 m A A E A k A A m k k (5.34) 其中 E 为矩阵.Am为 A 的 m 的幂 A0=E,0!=1. 矩阵级数(5.34)是收敛的,即 expA 是一个确定的矩阵.这是由于 ! k! A K A k k  级数 . ! exp 0 在t的任何有限区间上是一致收敛的 k A t At k k k   = = t c k A c k A t k k k k  ,  ! ! 2.矩阵级数的性质 1).矩阵 A,B 可交换,则 e A+B=eA e B ; (5.36)

由 于 T T AT T AT A A A A A A A B E A B A AB B E A B A AB B B E B A A B E A 3). , exp( ) exp 2). ,(exp ) , (exp ) exp( ). , . ( 2 ) 2! 1 exp( ) ( ) ( 2 ) 2! 1 ) ( ) 2! | )( 2! exp exp ( 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 − − − − = = − − + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + 若 是非奇异的 则 对任何矩阵 存在 且 事实上 与 可交换     有了矩阵指数的基本概念及其性质,我们就可以利用它来研究(5.33)的基解矩阵,进而给出其通解. 首先给出下面定理: 定理 9. 矩阵(t) = exp pAt是(5.33)的基解矩阵,且(0) = E. 证明:当 t=0 时,由 expAt 定义知, exp ( ) 2! ( 1)! (0) , ( ) (exp ) ! 3 2 ' ' A At A t k A t A t E t At A A k t + = =  −  = 又因为 = = + + ++  故 (t)为基解矩阵. 现在要进一步解决的问题是这种用矩阵无穷级数定义的指数函数 e At ,可以用初等函数的有 限形式表示出来.如果可以的话应如何计算它呢?先看两个例子: 例 1: 如果 A 是一个对角矩阵, . 2 ' 1 试求出X AX的基解矩阵 a a a A n =             =  解:由(5.34)可得 [0 0, ,0 0] , . ,( 1,2, ) ! 2! exp ' 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 为 从而求得基解矩阵 其实方程可写成 故基本解组 a t T k k k a t a t a t k n k k k n n k n e X a X K e e e k t a a a t a a a t a a a At E          = =               + =               + +               +             = + 例 2: 试求 . 0 2 2 1 X ' X的基解矩阵      = 解: 因为

      =            =         +       +        +      =             =       =            +      =      = 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 2! 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 exp 0 2 2 0 . exp exp 0 0 0 1 2 , 0 2 2 0 0 0 0 1 0 2 2 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t e t e e t E t e e At t t A E t t t t t 矩阵因此  而后面两个矩阵是可交换的 为幂零 例 2 的方法具有普遍性.我们知道任矩阵 A 在相似变换下都可化为标准型 J.而 J 的每一分块又都 可 以 分 解 成 3 . . . , 质 能建立关系下面就刚才说法进行讨论 E和一个幂零矩阵之和因此e Jt可以表成初等函数有限形式为一方面 e At和e Jt由性 在 高代中有对任一 n 阶矩阵 A,存在 n 阶非奇异矩阵 T.使 A=T-1 JT.其中 J 为 Jordan 矩阵 . 1 1 , 2 1 为若尔当块 是 i阶的 i i i i M J n J J J J                         =       因 此 . (5.33) , , : . 1 1 1 1 2 1 1 矩阵 算 的基解矩阵 的一个方法 由于 从而 也是一个基解 另一方面 以上公式提供了实际计 A t Jt A t Jt A t T JTt Jt Jnt J t J t Jt e T e e T T e e e T e T e e e e − − − − = = =               = −  二. 基解矩阵的计算公式 由高代知,矩阵可对角化成 Jordan 分解.关键与它的特征值和特征向量关系很大.矩阵 A 的特征根  是其特征多项式 p() = det(E − A)的根.即p() = 0的根.矩阵A的 特征根  对应的特征向 量 u 是方程 (E − A)u = 0的非零解. 结论:微分方程组(5.33)有非零解 ( ) ( ) 0 , , . (5.33) ' e u Ae u E A u u x e c A u x e u t t t t 的解 有非零解 的充要条件是 为矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量 为  =  − = = =        例 3: 试求矩阵 A= . 5 3 3 5 的特征值和对应的特征向量      − 解: A 的特征值就是特征方程

, 0 1 0. 5 5 5 5 ( , ) ( ) 6 34 0 . 3 5 . 3 5 5 3 3 5 det( ) 2 1 1 2 1 1,2 1 2        = =         − − = − = = − + = =  = + − − − − =           i U u u i i U u u T A E U A t i i 特征向量 必须满足代数方程组 解得 的根即 对于特征 的 例 4:试求矩阵 A= . 1 4 2 1 的特征值和对应的特征向量      − 解: 特征 方程为    − = − = =            − − − = = − + = = − − − − = 0 0 0, 1 1 1 1 . (3 ) 6 9 0 , 3 . 1 4 2 1 det( ) 1 2 1 2 2 1 2 c c c c c c E A c t A A 应的特征向量考虑方程组 或者   因此  是 的二重特征值为了求其对    因此向量         = 1 1 c  是对应于  =3 特征值的特征向量,  ≠0 的任常数。 ㈠首先讨论当 A 具有 n 个线性无关的特征向量时（特别是当具有个不同的特征 值时），微分方程基解矩阵的计算方法。 定理 10、如果 A 矩阵具有 n 个线性无关的特征向量 v1,v2,.,vn 它们对应的特 征值分别为  1,  2,.,  n（不必各不相同）那么矩阵 t = e v e v e vn −  t   t t t n ( ) [ , , , ], 1 2 1 2    是常系数线性微分方程组 x’=Ax 的一个基解矩阵。 Proof：由上面讨论知，每一个向量函数 e  jtvj ( j=1,2,3,.,n) 都是(5、33) 的一个解，因此矩阵 ( ) [ , , , ] 1 2 1 2 n t t t t e v e v e v   n  =  是 （ 5 、 33 ）的一个解矩阵，因为 v1,v2, . ,vn 线性无关，所以 det  (0)=det[v1,v2,.,vn]=0 故  (t) 是（5、33）的一个基解矩阵。 例 5、试求方程组 x ’= 3 5 x -5 3 的一个基解矩阵

解:由例 3 知, 3 5i 1 = + 和 3 5i 2 = − 是 A 的特征值,即是对应于  1,  2的两个线性无关的特征向量.由定理 10,矩阵 (t) = e (3+5i)t ie(3-5i)t ie(3+5i)t e (3-5i)t 就是一个基解矩阵. 注: 一般来说, (t) 不一定是 expAt,但是由于 expAt= (t) c 又 c=  -1 (0) 即 expAt=  (t)  -1 (0) (5、67) 且当 A 是实解, expAt 也是实的. 例 6、试求例 5 的实基解矩阵。 解:由于基解矩阵  (t)为 (t) = e (3+5i)t ie(3-5i)t ie(3+5i)t e (3-5i)t 故其实解矩阵为 expAt= e (3+5i)t ie(3-5i)t 1 i ie(3+5i)t e (3-5i)t i 1 = 2 1 e (3+5i)t ie(3-5i)t 1 -i ie(3+5i)t e (3-5i)t -i 1 = 2 1 e (3+5i)t+e(3-5i)t i(e(3+5i)t -e (3-5i)t) i(e(3+5i)t -e (3-5i)t) e(3+5i)t+e(3-5i)t = e 3t cos5t sin5t -sin5t cos5t 例 7、求微分方程组 x ’= 5 -28 -18 x -1 5 3 3 -16 -10