第三章 一阶微分方程的解的存在定理 教学目的 讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定 理，解对参数的连续性定理 教学要求 掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可 微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。 教学重点 几个主要定理的条件及其证明 教学难点 逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解 及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。 但是，对许多微分方程，为 2 2 y' = x + y ，不可能通过初等积分法求解，这就产生 了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者 说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否 是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的 进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定 理， §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 讨论 Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解 对初值的连续性与可微性定理。 教学要求 熟练掌握 Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性 定理及其证明，会用 Picard 逼近法求近似解， 教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明
教学难点 逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一． 存在唯一性定理 1．定理 1，考虑初值问题 f (x, y) dx dy = （3.1） 0 0 y(x ) = y 其中 f(x,y)在矩形区域 R： | x − x0 | a,| y − y0 | b （3.2） 上连续，并且对 y 满足 Lipsthits 条件：即存在常数 L>0，使 对所有 (x, y1 ),(x, y2 )R 常存成立， | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y − f x y L y − y 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间 | x − x0 | h 上解存在唯一，这里 min( , ), max | ( , ) | ( , ) M f x y M b h a x y R = = 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程 = + x x y y f x y dy 0 ( , ) 0 （3.5）的连续解。 2.构造（3.5）所得解函数序列{ (x) n } 任取一连续函数 ( ) 0 x ， |0 (x − y0 ) | b 代入（ 3.5 ）左端的 y ， 得 = + x x x y f x x dx 0 ( ) ( , ( )) 1 0 (x) n (x) n ( ) ( , ( )) , 1,2 0 1 = 0 + = + x y f x x dx n x x n n 3.函数序列{ (x) n }在 | , | x0 − h x0 + h 上一致收敛到 (x) 。这里为 3 → → + x x n n n x y f x x dx 0 lim ( ) lim ( , ( )) 0
= y f x x dx n x x n lim ( , ( )) 0 0 → + 即 ( ) lim ( , ( )) 0 0 x y f x x n x x n n → = + 则 需 f (x, (x)) f (x, (x)) n 由 | f (x, (x)) f (x, (x)) | | (x) | n − n − 则 需 ( ) ( ) 0 x x b 由 于 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 0 1 x x x x n n k + k − k = = − 从而{ (x) k }在 [ , ] x0 − h x0 + h 上的一收敛性等 价于函数项级数 = + − − 1 0 1 ( ) ( ( ) ( )) n n n x x x 在 [ , ] x0 − h x0 + h 一收敛性。 4． (x) 为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间 [ , ] x0 x0 + h 是讨论，在 0 0 [x − h, x 上类似。 命题 3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程 = + x x y y f x y dx 0 ( , ) 0 （3，5） Proof:若 y = (x) 为（3.1）的解，则： = = 0 0 ( ) ( , ( )) ( ) x y f x x dx d x 对第一式从 0 x 到 x 取定积分可得 − x x x x f x x dx 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 即 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 反之，若 y = (x) 为（3.5）的连续解。，则有 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 由于对 f(x,y)在 R 上连续，从而 f (x,(x)) 连续故对上两式两边求导得 ( , ( )) ( ) f x x dx d x = 且 0 0 0 ( ) ( , ( )) 0 x y f x x dx y x x = + = 即 (x) = y 为（3.1）的连续解。 下面取 0 0 (x ) = y ，构造 picard 逐步逼近函数如下：
( ) ( , ( )) , , 1,2 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 = + + = = x y f − d x x x h n x y x x n n （3.7） 命题 2，对于所有 0 0 [ , ], ( ) n n和x x x h x + ；连续且满足 0 | ( ) | n x y b − Proof(用数学归纳法证明) N=1 时， = + x x x y f y d 0 ( ) ( , ) , 1 0 0 虽然在 0 0 [ , ] x x h + 上连续且 x y f y d f y d M x x Mh b z z z z − = − | ( ) | | ( , ) | ( , ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 设命题 2 为 n = k 时成立即 (x) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续，且 |h (x) − y0 | b 当 n = k +1 时 + = + x x k x y f y d 0 ( ) ( , ) , 1 0 0 由 f (x, y) 在 R 上连续可知， f (x, (x)) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续从而 ( ) 1 x k+ 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续且 x y f x d f y d M x x Mh b z z z z k − = k − + | ( ) | | ( , ( )) | ( , ) ( ) 1 0 0 0 0 0 而命题 2，在 n = k =1 时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有 n 成立 命题 3。函数序列 (x) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上一致收敛 Proof:考虑函数级数： ( ) ( ( ) ( )) ( ), [ , ] 0 0 1 0 x x 1 x n x x x x h n + k − k = + = − （3.9） 它前几项和为 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 0 1 s x x x x x n m k n = + k − k = = − 于是{ (x) n }一致收敛性等于（级数 3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9） 的通项进行诂计
2 2 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( , ( )) ( , ( ) ) | ( ) ( ) | ( , ( )) ( ) 0 0 0 0 x x ML L x x d L x x d x x f f d x x f d x x x x x x x n x x − = − − − − − = 其中第二个方程不等式是由 Lipsthits 条件得到的，高对正整数 n 有不等式 n n n n x x M ML | (x) (x) | ( ) 0 1 − 1 − − − 则当 x0 x x0 + h 时，由 Lipsthits 条件有 1 0 0 1 1 0 1 1 ( ) ( 1)! ( ) ! | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( , ( )) ( , ( ) 0 0 0 + − + + − + − = − − − n n n x x n x x n x x n n n x x n ML x d n ML LL x x d x x f f d 于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数 n 有 1 0 1 1 ( ) ( 1)! | ( ) ( ) | + − − − + − n n n n x x n ML x x x0 x x0 + h （3.11） 从而当 x0 x x0 + h 时 n n n n h n ML x x ( 1)! | ( ) ( ) | 1 1 + − − − 由于正级数 = − 1 + 1 ( 1)! n n n h n ML 收敛，由 weierstrass 判别法知，级数（3.9）在 [ , ,] x0 x0 + h 一致收敛，因而{ (x) n }在 [ , ,] x0 x0 + h 上一致收敛。 现设 lim (x) (x) n n = → ， x0 x x0 + h 则由 (x) n 连续性和一致收敛性得 (x) 在 [ , ,] x0 x0 + h 上连续且 |(x) − y0 | b 命题 4. (x) n 是积分方程(3.5)的定义于 [ , ,] x0 x0 + h 上的连续解. Proof:由 Lipschits 条件