《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 5.2 线性微分方程组的一般理论 一 齐次线性微分方程组 二 非齐次线性微分方程组
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ), (5.14) dx A t x f t dt = + 这里 和 在 上连续 A t f t a t b ( ) ( ) , 一阶线性微分方程组: 若 则 变为 f t( ) 0 (5.14) = ( ) , (5.15) dx A t x dt = 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 若 则称 为 f t( ) 0, (5.14) 非齐线性微分方程组
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 齐次线性微分方程组 1 叠加原理 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) , ( ) (5.15) , ( ) ( ) ( ) (5.15) , , , . m m m m x t x t x t c x t c x t c x t c c c + + + 如果 是方程组 的m个解 则它们的线性组合 也是 方程组 的解 这里 是任常数 定理2 证明: ( )( 1,2, ) (5.15) i 由于 是方程组 的m个解 x t i m = 则有 ( ) ( ) ( ), 1,2, , i i dx t A t x t i m dt = = 所以 1 ( ) m i i i d c x t dt = 1 ( ) m i i i dx t c dt = = ( ) ( ) A t x t i 1 ( ) ( ) m i i i A t c x t = = 1 m i i c = = ( ) , (5.15) dx A t x dt =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 函数向量组线性相关与无关 定义 设 1 2 ( ), ( ), , ( ) m x t x t x t 是一组定义在区间[ , ] a b 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数C1 , C2 , ., Cm , 使 得对所有 a t b ，有恒等式 否则就称这组向量函数在区间[ , ] a b 上线性无关. 则称 1 x t( ), 2 x t( ) , ., ( ) m x t 在区间[ , ] a b 上线性相关; 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 m m c x t c x t c x t + + +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 1 2 取 则 c c = = − 1, 1, 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) + t 1 2 故x t x t ( ), ( )在任何区间线性相关 例1 证明:函数向量组 2 1 cos ( ) 1 , t x t t = 在任何区间都是线性相关的. 2 2 1 sin ( ) 1 , t x t t − = 2 2 cos (1 sin ) 1 1 t t t t − − = − − 0 0 , 0 =