《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 在前一章中，介绍了能用初等方法求解的一阶微分 方程的几种类型，但是，也指出，大量的一阶微分方程 是不能用初等方法求出其通解的。而另一方面，实际问 题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此， 现在把注意力集中在Cauchy问题 的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解 的微分方程，往往用数值方法求解（这是以后要学的数 值分析课程的内容之一）。在用数值方法求Cauchy问题 解之前，需要在理论上解决下面两个基本问题： 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = 问题的提出
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) Cauchy问题 的解是否存在？如果解不存 在，要去求解就毫无意义，以后我们将给出在相当一般 的条件下，上述Cauchy问题的是存在的. 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = (2) 若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问 这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于不 知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是 不明确的
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 0, ( , ),( , ) : 定义：若存在L 使对所有 x y1 x y2 R均成立 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 则称函数f (x, y)在矩形区域R对y满足Lipschitz条件: : , , 设矩形区域R x − x0 a y − y0 b
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy 其中f (x, y)在矩形区域R: , , (3.2) x − x0 a y − y0 b 上连续, 并且对y满足Lipschitz条件, (3.1) , 则初值问题 在区间x − x0 h上的解存在且唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = =