关系的性质
析取范式与合取范式 关系的性质
关系的性质定义7.11 设R为A上的关系,(1)若 Vx(xEA><x,x>ER),则称 R在 A 上是自反的.(2) 若 Vx(xEA><X,X>史R),则称 R在 A 上是反自反的.实例：自反：全域关系EA，恒等关系IA，小于等于关系LA整除关系D反自反：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系A=[1,2,3], R1, R2, R3是A上的关系,其中Ri =[<1,1>,<2,2>]R2 =[<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>]R3 =[<1,3>]R2自反，R3反自反，R,既不是自反的也不是反自反的.2
关系的性质 定义7.11 设 R 为A上的关系, (1) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是自反的. (2) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是反自反的. 实例： 自反：全域关系EA , 恒等关系IA , 小于等于关系LA , 整除关系DA 反自反：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系. A={1,2,3}, R1 , R2 , R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>} R2 自反 ，R3 反自反，R1既不是自反的也不是反自反的. 2
对称性与反对称性定义7.12设R为A上的关系，(1)若VxVy(x,yEAΛ<X,y>ER><y,X>ER), 则称 R为 A上对称的关系：(2)若VxVy(x,yEA^<x,y>ERΛ<y,X>ER->x=y),则称 R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系EA，恒等关系l和空关系①反对称关系：恒等关系I和空关系也是A上的反对称关系，设A=[1,2,3],R1,R2,R3和R4都是A上的关系,其中R1 =[<1,1>,<2,2>],R, =<1,1>,<1,2>,<2,1>]R3 =[<1,2>,<1,3>],R4 =[<1,2>,<2,1>,<1,3>}R1：对称和反对称；R2：只有对称；R3：只有反对称;3R4：不对称、不反对称
对称性与反对称性 定义7.12设 R 为 A上的关系, (1) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称 R 为 A上对 称的关系. (2) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称 R 为 A上的反对称关系. 实例：对称关系：A上的全域关系EA , 恒等关系IA和空关系 反对称关系：恒等关系IA和空关系也是A上的反对称关系. 设A＝{1,2,3}, R1 , R2 , R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>} R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} R1：对称和反对称； R2：只有对称；R3：只有反对称； R4：不对称、不反对称 3
传递性定义7.13设R为A上的关系，若VxVyVz(x,y,zEA^<x,y>ER^<y,z>ER-><x,z>ER),则称R是A上的传递关系实例：A上的全域关系EA恒等关系I和空关系①，小于等于和小于关系，整除关系，包含与真包含关系设A=[1,2,3], R1, R2, R3是A上的关系, 其中R1 =[<1,1>,<2,2>]R2 =[<1,2>,<2,3>]R3 =[<1,3>]R和R3是A上的传递关系，R不是A上的传递关系.4
传递性 定义7.13设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称 R 是A上的传递关系. 实例： A上的全域关系 EA ,恒等关系 IA和空关系 ，小于等 于和小于关系，整除关系，包含与真包含关系 设 A＝{1,2,3}, R1 , R2 , R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,2>,<2,3>} R3＝{<1,3>} R1和R3是A上的传递关系, R2不是A上的传递关系. 4
关系性质成立的充要条件定理7.9设R为A上的关系，则(1)R在A上自反当且仅当IA二R(2)R在A上反自反当且仅当RnIA=①(3）R在A上对称当且仅当R=R-1(4)R在A上反对称当且仅当RnR-1CIA(5）R在A上传递当且仅当RRCR5
关系性质成立的充要条件 定理7.9设R为A上的关系, 则 (1) R 在A上自反当且仅当 IA R (2) R 在A上反自反当且仅当 R∩IA = (3) R 在A上对称当且仅当 R=R−1 (4) R 在A上反对称当且仅当 R∩R −1 IA (5) R 在A上传递当且仅当 RR R 5