《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.2 线性方程与常数变易法 一、一阶非齐线性方程 二、伯努利（Bernoulli）方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 一阶线性微分方程 在a(x) 0的区间上可写成 P(x) y Q(x) (1) dx dy = + 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x) = 0,则(1)变为 P(x) y (2) dx dy = (2)称为一阶齐次线性方程 若Q x( ) 0, (1) 则 称为一阶非齐线性方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法 1 0 解对应的齐次方程 p x y dx dy = ( ) 得对应齐次方程解 2 0 常数变易法求解 (将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解) y ce dx c为任意常数 p x , ( ) = 令 ( ) 为(1)的解,则 ( ) = p x dx y c x e
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 p x d x p x d x e c x p x e dx dc x dx dy + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 p x d x Q x e dx dc x = − ( ) ( ) ( ) 积分得 ~ ( ) c(x) Q(x)e dx c p x d x + = − 3 0 故(1)的通解为( ( ) ) (3) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − 注 求(1)的通解可直接用公式(3)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 x n y e x x n dx dy ( 1) 1 + + + = 首先,求齐次方程 y x n dx dy +1 = 的通解 从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 1 1 两边积分得 ln y = nln x + +c