§3.2 解的延拓 教学目的 讨论解的延拓定理。 教学要求 掌握解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解 教学重点 解的延拓定理条件及其证明 教学难点 应用解的延拓定理讨论解的存在区间。 教学方法 讲练结合教学法、启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 解的存在在唯一性是定理优点是:在相当广泛的条件下,给定方程: f (x, y) dx dy = 有满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的唯一解存在,但也有缺点,即它局部的,它只能肯定 这种解在 0 x = x 附近的一个区间 | | , min( , ) 0 m b x − x h h = a 上存在,有时所得的区 间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 (0) 0 2 2 = = + y x y dx dy 当定义域为 R: −1 x 1 时,解存在的唯一区间 . 2 1 } 2 1 | x | h = min{1, = 当定义域 为 R: −1 x 2 时,解的顾在唯一区间 . 4 1 } 4 1 | x | h = min{1, = 这样随着 f (x, y) 的 定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际 要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此 区间. 1,局部利普希茨( Lipschitz )条件.若函数 f (x, y) 在区域 G 内连续且对 G 内 的每一点 P,有以 P 为中心完全含于 G 内的闭短矩形 Rp 存在,在 Rp 上 f (x, y) 在 G 内关于 y 满足 Lipschitz 条件,(对不同的点,域 Rp 的大小和常数 L 尽可能不同), 则称 f (x, y) 在 G 内对 y 满足局部 Lipschitz 条件
2.解的延拓定理.如果方程(3.1)在奇函数 f (x, y) 在有界区域 G 中连续,且在 G 内关于 y 满足局部 Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过 G 内任何一点( 0 0 x , y ) 的解 y = e(x ) 可以延拓.直到点 (x,,(x)) 任意接近 G 的边界.以向 X 增大的一方 延拓来说,如果 y = (x) 它的延拓到区间 x0 x m 时.则当 x →m 时,(x,(x))` 趋于区间 G 的边界. Proof: (x0 , y0 ) R,由解的存在唯一性定理知,初值问题 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = (2) 存在唯一解 ( ) 0 y = x ,解的存在唯一区间为 | | 0 h0 x − x 取 , ( ). ( , ) 1 0 0 1 1 1 1 x = x + h y = x 以P x y 为心,作一小短线 1 R. ,则初值问题 . 1 1 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = (3) 存在唯一解 y = (x),解的存在空间为 | x − x1 | h1 0 因 ( ) ( ) 1 x = x 由唯一性,在两区间的重叠应有 ( ) ( ) 1 x = x .即当 1 1 1 x − h x x 时, ( ) ( ) 1 x = x 定义函数 0 0 0 0 (x), x − h x x + h ( ) = * x 0 0 0 1 (x), x − h x x + h 那么 ( ) * y = x 为方程(3.1)满足(2)或(3)在 [ o ho x0 − h , x0 + ]上有定义的唯一 解,这样我们已把(3.1) 满足(1)的解 y = (x) 的定义区间向右延长了一段,即 (3.1)满足(2)的解 ( ) * y = x 为解 y = (x) 在定义在 0 0 | x − x | h 的向右延拓, 即 将解延拓到区间 0 0 0 h0 h1 x − h x + + 上,用同样的方法也可以把向左延长,以上
这种把解曲线向左右两主延拓的步骤可以一次一次地进行下去,最后得到一条长 长的积分曲线 y = (x).它已经再也不能左右继续延拓了,这样的解称为(3.1)的 饱和解. 任一饱和解的最在存在区间定是开区间 x .否则若两端是闭的,则 ( , ( ) ~ G ) ,这样一样.解 ~ y = (x) 还继续向右方延拓,从而它是非饱和解,矛 盾,对左端可同样讨论,即 → − + x 或 时, (x,(x)) → G . ,推论,如果 G 是无号区间延拓定理条件下,方程(3.1)的通赤点( 0 0 x , y )的 y = (x) 解可以延拓,以向 X 增大的一方延拓来说,有下南的两种推论, (1)解 y = (x) 可以过延拓区间 ( , ) x0 + ;或 (2)解 y = (x) 可以过延拓到区间 ( , ) 0 m x 其中 m 为有限数,当 x →m 时,或者 y = (x) 无界,或者说 (x0 ,(x)) → 2G 例 1,讨论主程, 2 1 2 − = y dx dy 通过点( ln 2,−3 )的解艳情在区间. 解,此方程左端函数在整个 xy 平面上满足的解存在的唯一生定理及解在延拓定 理条件,容易求出此方程通解为 (1 )/(1 ). x x y = + ce − ce 故通解过点(ln2,-3)的解为 (1 )/(1 ). x x y = + ce − ce 这个解的存在区间为 0 x +.如图.通过(ln2,-3)的解向右可延拓到 + .但
向左只能延拓到 0.因 → → + + x 0 jf , y . 例 2,研究定义于区域-1<x<3 中的方程 2 y dx dy = 经过点(0,0).(1,1)的解存在区间. 解 2 f (x, y) = y 处处连续,且在某域中满足局部 Lipscht 条件,方程通解为 c x y − = 1 此外还有特别解 y=0. 方程经过点(0,0)的解为 y=0 的两端却能达到 G 的边界. 地(1,1)的解为 2 1 1 − = x y ,综的左端能达到 x=-2,但右端当 x →2 时, y → +,故不能达到 G 的边界 x=3 泛例说明,虽然 f (x, y) 在某域-2<x<3 中处处满足定理的要求,但方程的解却不能够延拓到整个区间(-2,3)上去
注,如果函数 f (x, y) 在整个 xy 平面都有意义,连续和有解,同时存在关于 y 一阶连续导数,则方程(3.1)的任一解可以延拓到区间− x +