实例：关系计数例1设A为n元集，问(1)A上的自反关系有多少个2解：在自反关系矩阵中，主对角线元素都是1，其他位置的元素可以是1，也可以是0，有2种选择.这种位置有n2-n个，根据乘法法则，自反关系的个数2-n6
6 实例：关系计数 例1 设A为 n 元集，问 (1) A上的自反关系有多少个？ 解：在自反关系矩阵中，主对角线元素都是1，其他位置的元 素可以是1，也可以是0，有2种选择. 这种位置有n 2−n个，根 据乘法法则，自反关系的个数 n −n 2 2
实例：关系计数例1设A为n元集，问(2)A上的对称关系有多少个2解：考虑对称关系的矩阵.i行j列(iti)的元素ri=ri.能够独立选择0或1的位置有(n2-n)/2个.加上主对角线的n个位置，总计(n2+n)/2个位置，每个位置2种选择，根据乘法法则，构成矩阵的方法数是2(n°+n)/27
7 实例：关系计数 例1 设A为 n 元集，问 (2) A上的对称关系有多少个？ 解：考虑对称关系的矩阵. i 行 j 列(i≠j)的元素rij = rji. 能够独立 选择0或1的位置有(n 2−n)/2个. 加上主对角线的n个位置，总计 (n 2+n)/2个位置，每个位置2种选择，根据乘法法则，构成矩 阵的方法数是 ( )/ 2 2 2 n +n
解答例1设A为n元集，问(3)A上的反对称关系有多少个2解： 非主对角线位置分成(n2-n)/2组，每组包含元素ri;和rji. 根据反对称的性质，ri与ri的取值有以下3种可能：rj=1, rj=0; rij=0, rji=1; rij=rj=0.所有这些位置元素的选择方法数为 3(n2-n)/2 再考虑到主对角线元素的选取，由乘法法则总方法数为2"3(n2-n)/28
8 解答 解：非主对角线位置分成(n 2−n)/2组，每组包含元素rij和rji. 根 据反对称的性质，rij与rji的取值有以下3种可能： rij=1, rji=0； rij=0, rji=1； rij=rji=0. 所有这些位置元素的选择方法数为 . 再考虑到主对角 线元素的选取，由乘法法则总方法数为 ( )/ 2 2 3 n −n ( )/ 2 2 2 3 n n −n 例1 设A为 n 元集，问 (3) A上的反对称关系有多少个？
解答例1设A为n元集，问(4)A上的函数有多少个？ 其中双射函数有多少个？解：设A={x1,X2.,Xn]，任何A上的函数f:A→A具有下述形式：f=[<X1,Y1>,<X2,Y2>,..,<Xn,Yn>]其中每个y;(i=1,2,.,n）有n种可能的选择，根据乘法法则,有n"个不同的函数.若f是双射的，那么yi确定以后，y2只有n-1种可能的取值…,Yn只有1种取值.构成双射函数的方法数是n(n-1)(n-2)...1=n!9
9 解答 解：设A={x1 ,x2 ,.,xn }，任何A上的函数 f:A→A具有下述形式： f={<x1 ,y1>,<x2 ,y2>,.,<xn ,yn>} 其中每个yi（i=1,2,.,n）有n种可能的选择，根据乘法法则， 有n n个不同的函数. 若 f 是双射的，那么y1确定以后，y2只有 n−1种可能的取值 ,., yn只有1种取值. 构成双射函数的方法数 是n(n−1)(n−2).1 = n!. 例1 设A为 n 元集，问 (4) A上的函数有多少个？其中双射函数有多少个？