广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3) , 若 是非奇异的 则 T AT A T ) (exp ) . = -1 -1 exp(T T 由于: AT) = -1 exp(T 1 0 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ! k k T A T k  − =  1 T T− = + 1 1 ( ) ! k k A T T k  − =  1 1 ( ) ! k k A T E T k  − = = + = (exp ) . A T -1 T

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵  = ( ) exp t At 是(5.33)的基解矩阵,且  = (0) . E 证明: 当 时由 定义知 t At = 0 , exp  = (0) ; E 又因为 ' '  = ( ) (exp ) t At 2 3 2 1 1! 2! ( 1)! m A A A m A t t t m − = + + + + + − = A = A 故 是基解矩阵  = ( ) exp t At 2 2 ( ) 2! ! m A A m E At t t m + + + + + exp At = A( ), t

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 如果A是一个对角矩阵 1 2 n a a A a     =           ' 试求出 的基解矩阵 x Ax = . 解 由(5.34)得 exp At = E 1 2 1! n a a t a     +           2 1 2 2 2 2 2! n a a t a       +        

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 + 1 2 ! m m m m n a a t m a       +         + 1 2 n a t a t a t e e e       =         例2 ' 2 1 . 0 2 x x   =     试求出 的基解矩阵 解 因为 2 1 0 2 A   =     2 0 0 1 0 2 0 0     = +         而后面两个矩阵是可交换的

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 0 2 , 0 2 E   =     2 0 1 0 0 , 0 0 0 0     =         故 exp At 2 0 exp( ) 0 2 t   =     0 1 exp( ) 0 0 t        2 2 0 0 t t e e   =     2 2 0 1 0 1 { } 0 0 0 0 2 ! t E t      + + +         2 2 0 0 t t e e   =     1 0 1  t     2 1 . 0 1 t t e   =    