《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例4 2 1 . 1 4 − 试求矩阵A= 特征值和特征向量 解 特征方程为 2 1 det( ) 1 4 E A − − − = − 2 = − + = 6 9 0 因此 为两重特征根 = 3 , 为求其对应的特征向量 考虑方程组 ( ) E A c − = 1 2 1 1 0 1 1 c c − = − 解得 1 , 0, 1 c = 是对应于特征根 的特征向量 = 3 ' 3 2 1 1 4 1 . 1 t x x x e = − = 方程组 的解为
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理10 1 2 1 2 , , , ; , , , ( ), n n v v v 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 它们相应的特征值为 不必 互不相同 那么矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , , , ], n t t t n t e v e v e v t = − + 是常系数线性微分方程组 ' x Ax = , (5.33) 的一个基解矩阵
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 , 1,2, , j t j e v j n = 都是(5.33)的解,因此矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , , , ] n t t t n t e v e v e v = 是(5.33)的解矩阵, 1 2 , , , , n 由于 线性无关 v v v 所以 1 2 det (0) det[ , , , ] n = v v v 0 故 是 的基解矩阵 ( ) (5.33) . t
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例5 ' 3 5 . 5 3 x x = − 试求微分方程组 的基解矩阵 解 由例3知 1 2 = + = − 3 5 , 3 5 i i A 是 的特征值, 1 2 1 2 1 , , , 1 i v v i = = 是对应于 的特征向量; 由定理10,矩阵 1 2 1 2 ( ) [ , ] t t t e v e v = (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) i t i t i t i t e ie ie e + − + − = 就是一个基解矩阵
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1 计算特征值，特征向量； 求实基解矩阵的步骤(利用定理10) 2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）； 3* 写出方程的通解