性质证明证明 A×(BUC)= (A×B)U(A×C)证任取<x,y><x,y>EA× (BUC)XEAAyEBUCXEAA(VEBVyEC) (xEAAyEB)V(xEAAyEC)<x,y>EA × BV<x,y>EA× C←<X,y>E(A X B) U (A X C)所以有A × (BUC)=(A X B) U(A × C)6
6 性质证明 证明 A(BC) = (AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
实例例2(1) 证明A=B,C=D=A×C=BxD(2)AxC=BxD是否推出A=B,C=D?为什么 ?解(1)任取<x,y><x,y>EAxC XEAAYEC XEBAVED<><X,y>EBxD(2)不一定.反例如下：A=[1], B=[2], C = D = , 则AxC= BxD但是A ≠ B.7
7 实例 例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出A=B,C=D? 为什么？ 解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B
二元关系定义7.3如果一个集合满足以下条件之一：(1)集合非空，且它的元素都是有序对(2）集合是空集则称该集合为一个二元关系，简称为关系，记作R如果<X,y>ER,可记作xRy；如果<X,y>史R,则记作xRy实例 : R=[<1,2>,<a,b>], S=[<1,2>,a,b]R是二元关系，当a，b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写1R2,aRb,aRc等.8
8 二元关系 定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作xRy 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, aRc等
A到B的关系与A上的关系定义7.4设AB为集合，AXB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，当A=B时则叫做A上的二元关系例3A=[0,1], B=[1,2,3], 那么Ri=[<0,2>], R2=A × B, R3=O, R4=[<0,1>]R1,R2,R3,R4是从A到B的二元关系，R3和R4也是A上的二元关系.2h计数：IA|=n, IA×A|=n2,A×A的子集有2"个.所以A上有2个不同的二元关系例如[A/=3,则A上有=512个不同的二元关系9
9 A到B的关系与A上的关系 定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系. 2 2 n 例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>} R1 , R2 , R3 , R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系. 计数: |A|=n, |A×A|=n 2 , A×A的子集有 个. 所以 A上有 个不同的二元关系. 例如 |A| = 3, 则 A上有=512个不同的二元关系. 2 2 n
A上重要关系的实例定义7.5设A为集合，(1)①是A上的关系，称为空关系(2) 全域关系 E^=[<X,y>| xEA^yEA) =AXA恒等关系 IA =[<X,X>/ xEA)小于等于关系 LA =[<x,y>[ x,yEAΛx≤y], A为实数子集整除关系 DB=[<x,y>/ x,yEBΛx整除y), A为非0整数子集包含关系 R_=[<x,y>/ x,yEA^xCy],A是集合族.10
10 A上重要关系的实例 定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A 恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族