交流谐振电路及介电常数测量一、实验简介由电感、电容组成的电路，通过交流电时，即可产生简谐形式的自由电振荡。由于回路中总存在一定的损耗，因此这种振荡会逐步衰减，形成阻尼振荡。若人为地给电路补充能量，使振荡能持续进行，则可从示波器上观察到回路电流随频率变化的谐振曲线，并由此求出回路的品质因数。本实验研究RLC串、并联电路的交流谐振现象，学习测量谐振曲线的方法，学习并掌握电路品质因数Q的测量方法及其物理意义。二、实验原理在由电容和电感组成的LC电路中，若给电容器充电，就可在电路中产生简谐形式的自由振荡。若电路中存在一定的回路电阻，则振荡呈振幅逐步衰减的阻尼振荡。此时若在电路中接入一交变信号源，不断地给电路补充能量，使振荡得以持续进行，形成受迫振动，这时回路中将出现一种新的现象一一交流谐振现象。电路的特性也因串联或并联的形式不同，而展现出不同的结果。本实验研究RLC串、并联谐振电路的不同特性，并利用RLC串联电路测量未知电容进而求得介电常数。1.RLC串联谐振电路在常见的RLC串联电路中，若接入一个输出电压幅度一定，输出频率f连续可调的正弦交流信号源（见图1)，则电路的许多参数都将随着信号源频率的变化而变化。E(t)图1RLC串联谐振电路
交流谐振电路及介电常数测量 一、 实验简介 由电感、电容组成的电路，通过交流电时，即可产生简谐形式的自由电振荡。 由于回路中总存在一定的损耗，因此这种振荡会逐步衰减，形成阻尼振荡。若人 为地给电路补充能量，使振荡能持续进行，则可从示波器上观察到回路电流随频 率变化的谐振曲线，并由此求出回路的品质因数。 本实验研究 RLC 串、并联电路的交流谐振现象，学习测量谐振曲线的方法， 学习并掌握电路品质因数 Q 的测量方法及其物理意义。 二、 实验原理 在由电容和电感组成的 LC 电路中，若给电容器充电，就可在电路中产生简 谐形式的自由振荡。若电路中存在一定的回路电阻，则振荡呈振幅逐步衰减的阻 尼振荡。此时若在电路中接入一交变信号源，不断地给电路补充能量，使振荡得 以持续进行，形成受迫振动，这时回路中将出现一种新的现象——交流谐振现象。 电路的特性也因串联或并联的形式不同，而展现出不同的结果。本实验研究 RLC 串、并联谐振电路的不同特性，并利用 RLC 串联电路测量未知电容进而求得介 电常数。 1. RLC 串联谐振电路 在常见的 RLC 串联电路中，若接入一个输出电压幅度一定，输出频率 f 连 续可调的正弦交流信号源(见图 1)，则电路的许多参数都将随着信号源频率的变 化而变化。 图 1 RLC 串联谐振电路
电路总阻抗R2 + (L -)2Z = /R2 + (ZL - Zc)2 =(1)wC回路电流Vi1=(2)zJR2(oL-)2电流与信号源电压之间的位相差OL-C(3)Pi =-arctan(R1在以上三个式子中，信号源角频率=2πf，容抗Zc=，感抗Z=L。Pi<0，表示电流位相落后于信号源电压位相；βi>0，则表示电流位相超前。各参数随变化的趋势如图2所示
电路总阻抗 Z = �R2 + (ZL − ZC)2 = �R2 + (ωL − 1 ωC )2 (1) 回路电流 I = Vi Z = Vi �R2+(ωL− 1 ωC)2 (2) 电流与信号源电压之间的位相差 φi = −arctan( ωL− 1 ωC R ) (3) 在以上三个式子中，信号源角频率ω = 2πf，容抗Z𝐶𝐶 = 1 𝜔𝜔𝜔𝜔 ，感抗ZL = ωL。 ϕi ＜0，表示电流位相落后于信号源电压位相；ϕi＞0，则表示电流位相超前。 各参数随ω变化的趋势如图 2 所示
wjw,I(a)Q小00,02 (b)P.元2e0o)元2(c)图2RLC串联谐振电路中Z，I，β随的变化曲线R2+（一)2，→元/2，电流的位相超前于信号Q很小时，电路总阻抗Z-→源电压位相，整个电路呈容性。很大时，电路总阻抗Z→R2+(wL)2，Pi→-元/2，电流位相滞后于信号源电压位相，整个电路呈感性。当容抗等于感抗时，容抗感抗互相抵消，电路总阻抗Z=R，为最小值，而此时回路电流则成为最大值Imax=V/R，位相差βi=0，整个电路呈阻性，这个现象即为谐振现象。发生谐
图 2 RLC 串联谐振电路中 Z，I，ϕi随ω的变化曲线 ω很小时，电路总阻抗 Z→�𝑅𝑅2 + ( 1 𝜔𝜔𝜔𝜔 )2, ϕi→π/2，电流的位相超前于信号 源电压位相，整个电路呈容性。ω很大时，电路总阻抗 Z→�𝑅𝑅2 + (𝜔𝜔𝜔𝜔)2, ϕi→- π /2 ，电流位相滞后于信号源电压位相，整个电路呈感性。当容抗等于感抗时， 容抗感抗互相抵消，电路总阻抗 Z=R,为最小值，而此时回路电流则成为最大值 Imax= Vi/R ，位相差ϕi =0，整个电路呈阻性，这个现象即为谐振现象。发生谐
振时的频率f。称为谐振频率，此时的角频率。即为谐振角频率，它们之间的关系为：1,fo=%=1(4)1W=Wo=2元=2元VLCVLC谐振时，通常用品质因数Q来反映谐振电路的固有性质LQ=1=oL=1(5)-RVWoRCR(6)R-RVRVR在交流电一个周期T内，电阻元件损耗能量WR=RI2T，其中I=云lo是电流有效值。谐振电路中电感电容储存能量为1Ws =Li2(t)+#Cuc2(t)其中 i(t) = Iocost, uc(t) =cos(at -)wC则 Ws=10*(Leos*wt+sin't),162L = L12, Q = 2n ws所以谐振时Ws=WR结论：(1）Q值越大，谐振电路储能的效率越高，储存相同能量需要付出的能量耗散越少。Q的这个意义适用于一切谐振系统（机械的，电磁的，光学的等等）。微波谐振腔和光学谐振腔中的Q值都指这个意义。激光中有所谓的“调Q”技术，正是在这中意义下使用“Q值”概念的。(2）在谐振时，V=V，所以电感上和电容上的电压达到信号源电压的Q倍，故串联谐振电路文称为电压谐振电路。串连谐振电路的这个特点为我们提供了测量电抗元件Q值的的方法，最常见的一种测Q值的仪器是Q表。当一个谐振电路Q值为100时，若电路两端加6v的电压，谐振时电容或电感上的电压将达到600v。在实验中不注意到这一点，就会很危险。（3）Q值决定了谐振曲线的尖锐程度，或称之为谐振电路的通频带宽度。见图2，当电流I从最大值Imax下降到一Imax时，在谐振曲线上对应有两个频率の，和の2
振时的频率 f0称为谐振频率，此时的角频率ω0即为谐振角频率，它们之间的关 系为： ω = ω0 = � 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 ,f0 = ω0 2𝜋𝜋 = 1 2𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿 (4) 谐振时，通常用品质因数 Q 来反映谐振电路的固有性质 Q = 1 ω0𝑅𝑅𝑅𝑅 = ω0𝐿𝐿 𝑅𝑅 = 1 𝑅𝑅 �𝐿𝐿 𝐶𝐶 (5) Q = 𝑍𝑍𝐶𝐶 𝑅𝑅 = 𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑅𝑅 = 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝑉𝑉𝐿𝐿 𝑉𝑉𝑅𝑅 (6) 在交流电一个周期 T 内，电阻元件损耗能量WR = RI 2T , 其中 I = 1 √2 𝐼𝐼0是电 流有效值。 谐振电路中电感电容储存能量为 W𝑆𝑆 = 1 2 𝐿𝐿𝑖𝑖 2(𝑡𝑡) + 1 2 𝐶𝐶𝑢𝑢𝐶𝐶 2(𝑡𝑡) 其中 i(t) = I0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐，u𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜋𝜋 2 ), 则 W𝑆𝑆 = 1 2 I0 2 (𝐿𝐿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜔𝜔𝜔𝜔 + 1 𝜔𝜔2𝐶𝐶 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜔𝜔𝜔𝜔), 所以谐振时 W𝑆𝑆 = 1 2 I0 2𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝐼𝐼2,Q = 2π 𝑊𝑊𝑆𝑆 𝑊𝑊𝑅𝑅 结论： (1) Q 值越大，谐振电路储能的效率越高,储存相同能量需要付出的能量耗散越 少。Q 的这个意义适用于一切谐振系统（机械的，电磁的，光学的等等）。微 波谐振腔和光学谐振腔中的Ｑ值都指这个意义。激光中有所谓的“调 Q”技术， 正是在这中意义下使用“Q 值”概念的。 (2) 在谐振时，VR=Vi，所以电感上和电容上的电压达到信号源电压的 Q 倍，故串 联谐振电路又称为电压谐振电路。串连谐振电路的这个特点为我们提供了测量电 抗元件 Q 值的的方法，最常见的一种测 Q 值的仪器是 Q 表。当一个谐振电路 Q 值为 100 时，若电路两端加 6v 的电压，谐振时电容或电感上的电压将达到 600v。 在实验中不注意到这一点，就会很危险。 (3) Q 值决定了谐振曲线的尖锐程度，或称之为谐振电路的通频带宽度。见图 2， 当电流 I 从最大值𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚下降到 1 √2 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚时，在谐振曲线上对应有两个频率ω1和ω2
△の=の，-の，即为通频带宽度。显然，△越小，曲线的峰就越尖锐，电路的选频性能就越好。可以证明Q=00(7)(Q 》 1)Aa（4）在RLC电路的暂态过程实验中我们得到，当电阻R较小时电路处于阻尼振荡状态，振幅按照e-t/t（t=2L/R）的规律衰减的。振幅衰减的时间常数t代表振幅衰减到初始值1/e需要的时间。这个值可用Q来表示。由公式(5)可得：T = 2 = TTwo其中T是振荡周期，上式表明Q值越大，振幅衰减的越慢。可用上述原理粗略的测量Q值。用示波器把RLC电路的阻尼振荡曲线显示在荧光屏上，Q值的大小即可从各次振荡幅值之比看出。2.RLC并联谐振电路(0)1(01.(0)CE(t)1IR图3RLC并联谐振电路RLC并联谐振电路如图3所示。这种电路也具有谐振的特性，但与RLC串联电路有较大的差别。电路各参数与角频率の的关系如下：电路总阻抗R2+(wL)2(8)Z =V(1-W2LC)2+(WCR)2回路电流(9)I = Vi/Z
Δω=ω2-ω1，即为通频带宽度。显然，Δω越小，曲线的峰就越尖锐，电路的 选频性能就越好。 可以证明 Q = 𝜔𝜔0 ∆𝜔𝜔 (𝑄𝑄 ≫ 1) (7) (4) 在 RLC 电路的暂态过程实验中我们得到，当电阻 R 较小时电路处于阻尼振 荡状态，振幅按照e−𝑡𝑡/𝜏𝜏（τ=2L/R）的规律衰减的。振幅衰减的时间常数τ代表振 幅衰减到初始值1/e 需要的时间。这个值可用 Q 来表示。由公式(5)可得： τ = 2𝑄𝑄 𝜔𝜔0 = 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝜋𝜋 , 其中 T 是振荡周期,上式表明 Q 值越大，振幅衰减的越慢。 可用上述原理粗略的测量 Q 值。用示波器把 RLC 电路的阻尼振荡曲线显示在 荧光屏上，Q 值的大小即可从各次振荡幅值之比看出。 2. RLC 并联谐振电路 图 3 RLC 并联谐振电路 RLC 并联谐振电路如图 3 所示。这种电路也具有谐振的特性，但与 RLC 串联 电路有较大的差别。电路各参数与角频率ω的关系如下： 电路总阻抗 Z = � 𝑅𝑅2+(𝜔𝜔𝜔𝜔)2 (1−𝜔𝜔2𝐿𝐿𝐿𝐿)2+(𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 )2 (8) 回路电流 I = Vi/Z (9)