《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 复指数函数 ( ) (cos sin ) ( ) z t e e e t i t kt i t t = = = + + 欧拉公式: ( ) 2 1 cos i t i t t e e − = + ( ) 2 1 sin i t i t e e i t − = − 性质: 定义 (1) , kt kt e = e (2) , 1 2 1 2 (k k )t k t k t e = e e + (3) , kt kt e k e dt d = (4) , kt n kt n n e k e dt d =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 复值解 ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − (1)定义 称为方程 的复值解 如果 定义于区间 上的实变量复值函数 (4.1) , a t b z(t), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t z t f t dt d z t a t dt d z t n n n n n + + + = − − 对于a t b恒成立. ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2)定理8 (4.2) . , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) (4.2) ( )( 1,2, , ) 也都是方程 的解 解 则 的实部 和虚部 及 的共轭复数 都是实值函数 而 是方程的复值 如果方程 的所有系数 z t t t z t z t x z t t i t ai t i n = = + = 例如， 是方程 2 0的复值解 2 = + x = dt d x x e i t
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 具体内容 复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法： 比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3)定理9 若方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t iv t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = + − − 部 分别是方程 及 都是实值函数 则这个解的实部 和虚 有复值解 这里 ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )( 1,2, , ) V t u t v t U t x =U t + iV t ai t i = n ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 和 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x v t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 的解