《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题：常系数线性微分方程的求解 常系数齐线性微分方程的求解-如果？ 常数变易法 (至少) 比较系数法 Laplace变换法 有无其它方法？？ ? 欧拉指数法
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、 常系数齐线性方程和欧拉方程 常系数齐线性方程 欧拉（Euler）待定指数函数法 • 特征根是单根的情形 • 有复根的情形 • 特征根是重根的情形 • 应用 欧拉方程 框架
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler指数函数法) 考虑方程 [ ] 0 (4.19) 1 1 = + 1 + + = − − a x dt d x a dt d x L x n n n n n , , , , 其中a1 a2 an 为常数 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 我们知道,一阶常系数齐线性方程 + at = 0 dt dx 有解 , at x ce − =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解 , (4.20) t x e = 这里是待定常数,可以是实数也可以是复数, 把它代入方程(4.19)得 [ ] ( 1 ) 0 1 = + 1 + + − + = − t n n t n n L e a a a e 因此, 为(4.19)的解的充要条件是: t e 是代数方程 ( ) 0, (4.21) 1 1 = + 1 + + − + = − n n n n F a a a 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根 为方程(4.19)的特征根. t t L e F e [ ] = ()
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) 特征根是单根的情形 等的特征根 则相应方程 有如下 个解 设 是特征方程 的 个彼此不相 n n n , (4.19) , , , (4.21) 1 2 , , , (4.22) 1 2 t t t n e e e 由于 [ , , , ] = 1 2 t t t n W e e e n t n n t n t t n t t t t t n n n e e e e e e e e e 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 − − −