《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 不显含自变量t的方程, 一般形式: ( , , , ) 0, (4.59) ' ( ) = n F x x x , , 此时以y = x ' 作为新的未知函数 而把x作为新的自变量 y, dt dx 因为 = = dt dy = 2 2 dt d x dx dy = dt dx , dx dy y 3 2 3 2 d x d d x dt dt dt = dt d = ( ) dx dy y dx dx dy d( y ) = dt dx , 2 2 2 dx d y + y 2 ( ) dx dy = y
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 用数学归纳法易得: 可用 , , , ( 1) ( )来表达 ( 1) ( ) k n dx d y dx dy x y k k k − − 将这些表达式代入(4.59)可得: 2 2 2 2 ( , , , ( ) , ) 0 dy dy d y F x y y y y dx dx dx + = 即有新方程 ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原方程降低一阶
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解题步骤: 第一步: 自变量 原方程化为 令 并 为新的未知函数 为新的 , , , ' y = x y x ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) = 1 n−1 y x c c 第三步: 解方程 ( , , , ) = 1 n−1 x c c dt dx 即得原方程的通解
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解 令 y,并以x作为新的自变量, dt dx = 则方程化为 0 2 − y = dx dy x y 从而可得 y = 0, 及 , x y dx dy = 这两方程的全部解是 , 1 y = c x 例2 ( ) 0 . 2 2 2 求方程 − = 的通解 dt dx dt d x x 再代回原来变量得到 , 1 c x dt dx = 所以得原方程的通解为 1 2 , c t x c e =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 = − sin 2 2 l g dt d 【例】 求数学摆的运动方程 满足初始条件：t=0时， = 0 0, = 0 的解。 dt d 分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论. 0 cos cos 2 = − l g dt d 有 l g dt t l d t 2g 2 cos cos 0 0 0 = − = − − 利用初始条件，有