《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。 − 0 0 cos cos d 是一个椭圆积分，不能用初等函数表 示出来。 0 t 是摆从最大正偏离角 第一次到达 所需 时间。 =0 = 0 − = 0 0 0 0 2 cos cos d g l 令 t − − = 0 0 0 2 cos cos d g l 有 t t 通过分析，只需讨论摆在 0 t 4t 0 时间内的情况即可
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 1 (1) 0 设 是二阶齐线性方程 x x = 2 2 ( ) ( ) 0, (4.69) d x dx p t q t x dt dt + + = 的非零解 令 1 x x y = 则 ' ' ' 1 1 x x y x y = + '' '' ' ' '' 1 1 1 x x y x y x y = + + 2 代入(4.69)得 '' ' ' '' ' 1 1 1 1 1 1 x y x p t x y x p t x q t x y + + + + + = [2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 即 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0 引入新的未知函数 ' z y = , 方程变为 ' 1 1 1 [2 ( ) ] 0 dz x x p t x z dt + + = 是一阶线性方程,解之得 ( ) 2 1 , c p t dt z e x − = 因而 ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c, 则 ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt y c e dt c x − = +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此 (4.69)的通解为 1 因它与 之比不等于常数, x 1 2 故 线性无关 x x, 1 2 令 =1得(4.69)的一个解: c c = 0, ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt x x e dt x − = ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c