傅里叶光学实验一、实验简介傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。1906年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论。1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科一傅里叶光学。二、实验原理我们知道一个复变函数f(x，y)的傅立叶变换为：(1)F(u,v) =3(f(x,y)) =[[f(x,y)exp[-i2元(ux + vy)]dxdyF(u,v)叫作f(x，y)的傅立叶变换函数或频谱函数。它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求F(u，v)逆傅立叶变换得到原函数f(x，y)：f(x,y)=3-'(F(u, v)} = [F(u,v)exp[i2元(ux +vy)]dud)(2)在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x，y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i2元(ux+vy)]的线性选加，F(u,v)dudv是相应于空间频率u，v的权重，F(u，v)称为f(x，y)的空间频谱。为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：
傅里叶光学实验 一、实验简介 傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到 1893 年阿贝（Abbe）为了提高显微 镜的分辨本领所做的努力。他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和 干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。1906 年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论。1948 年全息术提出，1955 年光学传 递函数作为像质评价兴起，1960 年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重 新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现 代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。由于阿贝理论的启发，人们 开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的， 因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。两 者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都 可以用傅立叶变换的方法。将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进 而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象， 而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配 滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。 二、实验原理 我们知道一个复变函数 f(x，y)的傅立叶变换为： ∫∫ F(u,v ) = ℑ{f(x,y)} = f(x,y )exp[−i2p(ux + vy )]dxdy （1） F(u，v)叫作 f(x，y)的傅立叶变换函数或频谱函数。它一般也为复变函数，f(x， y)叫做原函数，也可以通过求 F(u，v)逆傅立叶变换得到原函数 f(x，y)： ∫∫ = ℑ = + − f x y F u v F u v i2 ux vy dudv 1 ( , ) { ( , )} ( , ) exp[ p ( )] （2） 在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来 的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。在这些情况下一般都可 以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间 函数 f(x，y)可以表示成无穷多个基元函数 exp[i2p(ux+vy)]的线性迭加，F(u,v)dudv 是相应于空间频率 u，v 的权重，F(u，v)称为 f(x，y)的空间频谱。 为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：
1.矩形函数：recto2a0other(3)它以Xo为中心，宽度为g（g>0），高度为1，两维矩形函数可以表示Xy-yo为两个一维矩形函数的乘积：rectorectba2.sinc函数：sin元(asincaX-Xo)元（a(4)圆域函数：3.x?+y2+y≤acirca0other(5)4. 8函数：8函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。它的定义式为：x=0,y=0D(x,y)=0other(6)或JJo(x,)(x,)dxdy=(0,0)(7)其中Φ(x，y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。8函数的性质：1)筛选性质：设函数f(x，y)在（xo，yo）连续，则有([f(x,y)s(x-xo,y-yo)dxdy=f(xo,yo)(8)2)坐标缩放性质：设a、b为实常数，则有1(9)(ax,by) =S(x,y)abl3)可分离变数性：(10)8(x,y)= 8(x)8(y)
1. 矩形函数： 0 other 2 1 1 r ( ) { 0 0 ≤ − = − a x x a x x ect (3) 它以 x0 为中心，宽度为 a（a>0），高度为 1，两维矩形函数可以表示 为两个一维矩形函数的乘积： ( ) ( ) b y y rect a x x rect − 0 − 0 2. sinc 函数： ( ) ( ) ( ) a x x a x x sin a x x sinc 0 0 0 − − = − π π (4) 3. 圆域函数： 0 other 1 x y a a x y circ 2 2 2 2 + ≤ = + ( ) { (5) 4. δ函数：δ函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。它的 定义式为： 0 other x 0, y 0 x y ∞ = = δ ( , ) = { (6) 或 ∫∫d (x, y)φ(x, y)dxdy = φ(0,0) (7) 其中φ(x，y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。 δ函数的性质： 1)筛选性质：设函数 f(x，y)在（x0，y0）连续，则有 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x − x y −y dxdy = f x y ∫∫ d (8) 2)坐标缩放性质：设 a、b 为实常数，则有 ( , ) (x, y) ab 1 δ ax by = δ (9) 3)可分离变数性： δ (x, y) = δ (x)δ ( y) (10)
4)与普通函数乘积的性质：设函数f(x，v)在（xO，vO）连续，则有f(x,y)o(x-xo, y-yo)=f(xo,yo)o(x-Xo,y-yo)(11)5.梳状函数：一维梳状函数定义为：comb(ax)-2(x-^)Can=0其中n为整数。(12)两维梳状函数定义：comb(ax,by) = comb(ax)comb(by)(13)在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。函数变换式exp[-元(x*+y")]exp[-~(u*+v")]rect(x)rect(y)Sinc(u)sinc(v)1(x, y)explj元(x+y)8(u-1/2, v-1/2)Comb(u)comb(v)Comb(x)comb(y)Circ(r) r=/x2 + y2J(2元p)/pp=u+v注：J10)为一阶贝塞尔函数表1常用的几种函数的傅里叶变换式最典型的空间滤波系统一两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f系统，如图1所示，物平面透镜1频谱面透镜2像平面
4)与普通函数乘积的性质：设函数 f(x，y)在（x0，y0）连续，则有 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x y δ x − x ，y − y = f x y δ x − x y − y (11) 5. 梳状函数: 一维梳状函数定义为： ∑ ∞ =∞ = − n a n comb(ax) δ (x ) 其中 n 为整数。 (12) 两维梳状函数定义： comb(ax,by) = comb(ax)comb(by) (13) 在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换 透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即 得到它的频谱函数。反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦 平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。 从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将 信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。因此等效地可以在透 镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二 个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。这个过程叫作光学信 息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。 函数 变换式 exp[-p(x2 +y2 )] rect(x)rect(y) δ(x，y) exp[jp(x+y)] Comb(x)comb(y) Circ(r) 2 2 r = x + y exp[-p(u2 +v 2 )] Sinc(u)sinc(v) 1 δ(u-1/2，v-1/2) Comb(u)comb(v) J1(2pρ)/ρ 2 2 ρ = u + v 注：J1() 为一阶贝塞尔函数 . 表 1 常用的几种函数的傅里叶变换式 最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系 统）叫作 4f 系统，如图 1 所示， 物平面 透镜 1 频谱面 透镜 2 像平面
f图14f系统光路图激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为X1，y1)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x1，y1)，这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(u，v)，再经透镜2在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x2，y2)。此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f(x1，y1)的坐标X1、Y1和频谱函数F(u，v)的坐标u、v的关系为u=兴,v=兴，其中入为光的波长，f为faf透镜的焦距。以矩孔为例，如果矩孔的长为α，宽为b，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]sin rtau sin rtbvF(u,v) = A。S(14)Ttaubv()，根据前面的傅里叶变换的缩放[注1]矩孔的数学表达式为rect(-)rect(-ba性质和表1可以推得式(14)由此可以计算出频谱面上中央主极大（图2右图中央的方斑)的宽度为a高度为。可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距bf成正比，所以为了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。图2右图所画的不是物函数的频谱，而是其功率谱。因为任何光的探测器都只能对光强有反映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方一功率谱。对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同
图 1 4f 系统光路图 激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为 x1，y1)，透过物平面的 光的复振幅为物函数 f(x1，y1)，这一光波透镜 1 到达后焦平面（频谱面）就得到 物函数的频谱，其坐标为(u，v)，再经透镜 2 在透镜 2 的象平面上可以得到与物 相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x2，y2)。此时我们将坐标 完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。 关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。为了便于问题的 讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数 f(x1，y1)的坐标 x1、y1 和频 谱函数 F(u，v)的坐标 u、v 的关系为 f y v f x u λ λ 1 1 = , = ， 其中λ为光的波长，f 为 透镜的焦距。以矩孔为例，如果矩孔的长为 a，宽为 b，则频谱面得到的衍射图 形即矩孔的频谱为[注 1] F(u, v) = A0 sinπau πau sinπbv πbv (14) [注 1 ]矩孔的数学表达式为 ( ) ( ) b y rect a x rect ，根据前面的傅里叶变换的缩放 性质和表 1 可以推得式(14) 由此可以计算出频谱面上中央主极大（图 2 右图中央的方斑）的宽度为 a λf ， 高度为 b λf 。可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距 f 成正比，所以为了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。 图 2 右图所画的不是物函数的频谱，而是其功率谱。因为任何光的探测器都只能 对光强有反映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。对 方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同
电图2矩形透光孔和它的频谱图空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为：1）低通滤波：在频谱面上放如图3(1）所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。2)高通滤波：在频谱面上放如图3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。3)带通滤波：在频谱面上放如图3(3)所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通过，可以去除随机噪音。4)方向滤波：在频谱面上放如图3(4)或（5）所示的光阑，它阻挡或充许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。+e+(1)(2)(4)(3)(5)图3各种形式的空间滤波器以上滤波光阑因透光部分是完全透光，不透光部分是将光全部挡掉，所以称作“二元振幅滤波器”。还有各种其他形式的滤波器，如：“振幅滤波器”、“相位滤波器”和“复数滤波器”等。5）相幅滤波器：是将位相转变为振幅的滤波器，它的重要应用就是把“位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构，从而扩展了人眼的视觉功能。显现位相的技术有许多种，这里只介绍纹影法和相衬法。a）纹影法：这是一个在空气动力学和燃烧学方面很有用的装置，可以应用于火焰照相和流场显示技术。它使用的光阑是一个刀口或一个如图4（2）所示的高通滤波器，也可以是个带通滤波器等等。经流体被扰动的光的场强（复振幅）为：
图 2 矩形透光孔和它的频谱图 空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为： 1) 低通滤波：在频谱面上放如图 3(1）所示的光阑，只允许位于频 谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。 2) 高通滤波：在频谱面上放如图 3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而 让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。 3) 带通滤波：在频谱面上放如图 3(3)所示的光阑，它只允许特定区域 的频谱通过，可以去除随机噪音。 4) 方向滤波：在频谱面上放如图 3(4)或（5）所示的光阑，它阻挡或允 许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。 图 3 各种形式的空间滤波器 以上滤波光阑因透光部分是完全透光，不透光部分是将光全部挡掉，所以 称作“二元振幅滤波器”。还有各种其他形式的滤波器，如：“振幅滤波器”、“相 位滤波器”和“复数滤波器”等。 5) 相幅滤波器：是将位相转变为振幅的滤波器，它的重要应用就是把 “位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透 明度却一样的透明物体。如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光 的位相而不影响其振幅。所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就 是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和 结构，从而扩展了人眼的视觉功能。 显现位相的技术有许多种，这里只介绍纹影法和相衬法。 a）纹影法：这是一个在空气动力学和燃烧学方面很有用的装置，可以应 用于火焰照相和流场显示技术。它使用的光阑是一个刀口或一个如图 4（2）所 示的高通滤波器，也可以是个带通滤波器等等。经流体被扰动的光的场强（复振 幅）为：